先看清，
描的是哪条边界。
水流碰到板面后向周围铺开，重力又把它向下坡拉。向上的水走得有限，向下的水继续前进，两侧逐渐张开。
这里讨论的是薄水膜与干燥板面之间的边缘。如果看到的是膜厚突然增加形成的「水跃」，就要另外记录，不能把两条边界混在一起。
拍照时尽量正对板面，把落点和整条边界拍进去，后面取点会方便些。
FIG. 01 — A QUESTION IN THE SINKα = 35°
看水流落下，再沿板面铺开
01 / IT STARTED WITH WATER
洗一块板，
洗出了一个问题。
水流竖直落下，打印板斜着放。
铺开的薄水膜与干燥板面之间，
那条边界，真的是抛物线吗？
01 / 看见轮廓TOP VIEW · 板面坐标
理想可达区域的边界1 GRID = 2.5 cm
小点沿模型轨迹出发，再被重力拉向下坡。
图示为无摩擦粒子模型；面内初速是碰撞后沿板面的速度，不等于水龙头出水速度。
先看清，
先用一群小点，
试着描述轮廓。
假设小点从落点朝各方向以相同初速 u 出发，只受沿坡重力 a = g sin α。x 轴横向，y 轴向下坡。
x = u cos φ · ty = u sin φ · t + ½at²
不同方向的轨迹合在一起，可达区域有一道共同边界。消去方向与时间，得到：
y = a / (2u²) · x² − u² / (2a)
在这组假设下，边界是一条抛物线。调大图下方的面内初速，可以看到上游边界离落点更远。
展开这一步推导 +
固定时间 t，小点满足 x² + (y − at²/2)² = u²t²。令 q = t² > 0，整理得 (a²/4)q² − (ay + u²)q + x² + y² = 0。可达区域的包络对应这个方程出现重根，即判别式为零；解得 y = ax²/(2u²) − u²/(2a)。
算出了抛物线，
再和水痕比一比。
真正的水会受到黏性、表面张力、板面纹理、接触角和流量影响。竖直水流落在斜板上，也未必形成各方向同速的初始流动。
有一项斜板水射流实验，记录过近似抛物线的厚边缘。它的水流是垂直于板面入射的，与这里竖直落水的条件不同。论文模型解释了上游爬升高度，没有求出完整边界，也不能据此确认这块打印板上的干湿边界。
研究：Hydraulic jumps on an incline ↗接下来量一量下面的取点工具可以把实测轮廓与抛物线放在一起比较。预置数据只是合成示例，不是这块板面的测量记录。
取点，比较轮廓 02 / MEASURE & FIT
“看起来像”，
然后呢？
拍下那块打印板上的水痕，
取点后，和拟合曲线叠在一起看。
正对板面。
相机尽量垂直于板面，放一把尺作参照。斜拍会引入透视变形；镜头畸变明显时先校正。
沿同一条边界。
以落点为原点，横向为 x，下坡为 y。统一单位，沿两侧分散选至少 5 个点，建议 10—20 个。
别只看拟合曲线。
残差是实测 y 减去拟合 y。若它们连续偏向一侧，或呈现明显的弯曲趋势，就要检查模型和测量方法。即使拟合很近，也只能说明形状接近，不能单凭它确定成因。
OBSERVATION / MODEL 取点 拟合
y = Ax² + Bx + C
RESIDUAL / y − ŷRMSE —
拟合允许左右平移，假定抛物线轴线沿 y 方向。误差单位与输入一致；请结合测量精度判断，不能只凭一个误差数字下结论。
这个问号，先留着。
模型中的边界是抛物线。
打印板上的水痕，还需要实测来判断。