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← 日常曲线 / ALL CURVES比例与生长FIELD NOTE 07 / 09
螺壳上越绕越宽的纹路
LOGARITHMIC SPIRAL

对数螺线。

一圈比一圈宽, 按什么比例变大?

厨房 / 一枚螺壳
FIG. 07 / 比例与生长GEOMETRIC MODEL
r = a · exp(bθ)
01 / DIAGRAMS

看圈距,
也看半径的比值。

有些螺壳越向外,圈与圈之间越宽。对数螺线可以近似描述这种轮廓:每转一圈,半径都乘上同一个倍数。

LOGARITHMIC SPIRAL01 / 03

比较的是半径的比值。对数螺线等角扩张,并不意味着它一定具有黄金比例。

SCROLL TO UNFOLD ↓
01 / OBSERVE

外圈的间距越来越大。

有些螺壳的卷曲轮廓越向外,圈距越宽。对数螺线可以近似描述这种形状;是否合适,还要看测量结果,不能凭一个「像」字确定。

螺壳轮廓 ≈ 对数螺线?
02 / OBSERVE

每转同样角度,乘同一个倍数。

阿基米德螺线每次加上固定距离;这里每次乘上固定比例。半径越大,同样比例带来的新增距离也越大,所以圈距向外增加。

r(θ + Δθ) / r(θ) = exp(bΔθ)
03 / OBSERVE

旋转之后,放大就能重合。

取任意一段理想对数螺线,转过一个角度,再按对应比例放大,就能与原曲线的另一段重合。生长前后相似的几何意义就在这里。

r = a · exp(bθ)
02 / YOUR TURN

外圈半径,是内圈的几倍?

打开比例射线,比较同一方向上相邻两圈的半径。调大扩张速率,再看这个比值如何变化。

LIVE GEOMETRY / LOGARITHMIC SPIRAL07 / 09
r = a · exp(bθ)
03 / TRY IT OFFSCREEN

找一枚螺壳,
或一张正面照片。

TRY THIS / 实物试一试

一枚螺壳

正对螺壳的卷曲面拍一张照片,标出中心。沿同一方向量各圈到中心的距离,用外圈半径除以内圈半径,比较几组比值是否接近。

MODEL / 模型的适用条件

螺壳是立体生物结构,品种和生长环境会带来偏差。像螺线不等于严格符合方程,更不自动等于黄金螺线。

参考资料:对数螺线 ↗
LOGARITHMIC SPIRAL / 07

外圈越来越宽,仍能认出内圈的样子。

放在一起看 / ANOTHER CONNECTION阿基米德螺线多转一圈,多走同样的距离。